نويسنده: اسماعیلی فر | موضوع: جبر, مجله رياضي | تاريخ ارسال: ۲۵م آبان ۱۳۸۴ | تعداد بازديد: 627 | تعداد نظرات: ۰ |

تذکر: sqrt x به معنی رادیکال x می باشد.
چند نکته:
۱) در هر میدان عددی حلقه اعداد صحیح جبری یک حوزه ددکیند است. یعنی هر ایده آل به شکل یگانه می تواند به صورت حاصلضرب ایده آلهای اول نوشته شود.
۲) در هر میدان عددی تنها تعدادی متناهی ایده آلهای اول موجودند که یک عدد اول مفروض p را عاد می کنند.
۳) یک حوزه ددکیند که تنها تعدادی متناهی ایده آل اول دارد یک حوزه ایده آل اصلی است و بدین ترتیب هر عضو را به تقریب شریک بودن (دو عضو را شریک گوییم هرگاه یکی حاصلضرب دیگری در یک یکال باشد) می توان به نحوی یکتا به صورت حاصلضرب عوامل اول نوشت.
میدان تمام اعداد به شکل a+b*sqrt -5 را که در آن a و b اعداد گویا هستند در نظر بگیرید. حلقه اعداد صحیح جبری در این میدان شامل اعداد به شکل a+b*sqrt -5 است که در آن a‌ و b اعداد صحیح معمولی هستند. به سادگی می توان دید که ۲ و ۳ و sqrt -5 +1 و ۱+sqrt -5 - در این حلقه اعضای اول هستند زیرا که نمی توانند به عواملی که اعداد صحیح جبری هستند تجزیه شوند مگر آنکه یکی از عوامل یکال ۱ یا -۱ باشد. همچنین  

(۱+sqrt -5)(1-sqrt -5)=2*3

دو تجزیه به عوامل اول برای عدد ۶ هستند که به تقریب شریک بودن یکی نیستند. بنابراین حلقه مزبور یک حوزه یکتای تجزیه نیست و ینابراین یک حوزه ایده آل اصلی نیز نیست. بنابراین طبق سومین خاصیت فوق الذکر باید تعداد متناهی ایده آل اول داشته باشد و در نتیجه بنابه دومین خاصیت تعدادی نامتناهی عدد اول موجود است.

اثبات فوق، اثباتی براساس جبر جابجایی است که در سال ۱۹۸۰ توسط واشنگتن ارائه گردید. درج این مطلب پاسخی بود به درخواست دوست خوبم علیرضا منیری برای محض تر کردن وبلاگ.

نظرات كاربران سايت