لبخند رياضي » شرایط مساوی بودن طرفین

شرایط مساوی بودن طرفین

برای هر x,y,z حقیقی و مثبت نشان دهید

که x³/(yz) + y³/(zx) + z³/(xy) ≥ x + y + z و بگویید حالت تساوی چه موقع رخ می دهد.

حل: می دانیم

(x⁴ + y⁴)/2 ≥ x²y²

معادله به صورت تساوی است اگر و تنها اگر x=y. با بازنویسی رابطه بالا برای x,z و y,z و جمع عبارتهای به دست آمده داریم:

x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ x²y² + y²z² + z²x²

که تساوی هنگامی رخ می دهد اگر و تنها اگر x=y=z. همچنین:

(x²y² + y²z²)/2 ≥ xy²z

در اینصورت

x²y² + y²z² + z²x² ≥xyz(x + y + z)

بنابراین

x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ xyz(x + y + z)

و حالت تساوی پیش می آید اگر و تنها اگر x=y=z. با تقسیم عبارت حاصل بر xyz به نتیجه دلخواه می رسیم.