نويسنده: آرزو خاموشی | موضوع: آناليز رياضي, كاربرد رياضي, مجله رياضي | تاريخ ارسال: ۱۶م فروردین ۱۳۸۶ | تعداد بازديد: 5828 | تعداد نظرات: ۳۹ |

الف) تاریخچه:
ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بین سال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابعf(x)  به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعه ایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یک تابع f(x) را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل sin(ax) و cos(ax) نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع و در نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند. با گذشت زمان ضعف پایه های فوریه نمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در مورد سیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند، بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود در تصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورد استفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ با استفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)
در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله  متوجه شد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع در آزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک ها گردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد را کشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک و تبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمن فیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال ۱۹۷۶ میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند و مالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.
ب) آشنایی
آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتا جدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است، امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم  و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیز موجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجک ها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان با استفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدست آورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی که در پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درون ریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) را در طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل فیلترهای آیینه ای متعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.
ج) کاربردها
آنالیز موجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند، صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکار رفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که در تلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفاده شده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حد زیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب، ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی و سادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیار کارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانی پیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) و سی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکار خوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی (F MRI) اشاره نمود.

منابع

1. انفجار ریاضیات/ انجمن ریاضی فرانسه
2. نشر ریاضی(مجله ریاضی مرکز نشر دانشگاهی )-سال پنجم-شماره های ۱و۲
3. کاربرد موجک ها در اپتیک کوانتومی(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / روح اله نمازی ریزی- دانشکده : علوم اصفهان
4. مبناها مبناهای موجک وفقی بهینه برای پردازش تصویر و ویدیو(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / مهدی امیری قزلجه – دانشکده ی مهندسی کامپیوتر صنعتی شریف
5. نشریه مهندسی برق و کامپوتر ایران، فشرده سازی وفقی سیگنال صحبت باند وسیع و صوت با استفاده از تبدیل موجک/طه مرتضوی و محمد حسن ساوجی-۱۳۸۵
6. حمید سعیدی، محمود مدرس هاشمی و سعید صدری , بهبود آشکارسازی اهداف راداری با استفاده از نویززدائی برپایه تبدیل موجک
7. نشریه استقلال , سال ۱۳۸۴ , جلد ۲۴ , شماره ۱ , تابستان , از صفحه ۱۷ تا صفحه ۲۹

۳۹ نظر پيرامون "آنالیز موجک"

1. اسماعیلی فر
   ۱۶م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۱:۳۵ ب.ظ

   آرزو خانم! ممنون از مطلب قشنگتون.

   [پاسخ]

2. کچوئی
   ۲۰م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۹:۳۵ ب.ظ

   سلام دستتون درد نکنه.
   ان شاءالله موفق باشید.

   [پاسخ]

3. روزبه
   ۲۱م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۹:۵۶ ق.ظ

   بسیار عالی و آموزنده بود

   ولی من این قطعه از متن رو خوب متوجه نشدم :

   ” بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد”

   [پاسخ]

4. پارسی پور
   ۲۱م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۶:۰۶ ب.ظ

   با سلام
   خیلی مقاله ی جالب و مفیدی بود. تا بحال جایی در مورد موجک نشنیده بودم.
   موفق و پیروز باشید

   [پاسخ]

5. آرزو خاموشی
   ۲۲م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۲:۵۹ ب.ظ

   همه ممنون.
   ………………………
   آقا روزبه من فکر نمی کنم که ابهامی داشته باشه اون قسمتهایی که فرمودین،من هدفم از اون قسمت این بود که ضمن آشنایی با موجک تفاوتهای اون رو هم با فوریه (که تو اون از تابع های مثلثاتی استفاده می شد) بیان کنم، قابلیت بررسی موضعی موجک یکی از مهم ترین خواصی هست که موجک و کار با اون رو کارآمد تر می کنه…
   ضمن اینکه اگه فرصت کنم مقاله ای برای بازشدن بیشتر مبحث موجک و همچنین چگونگی محاسباتش خواهم نوشت…

   [پاسخ]

6. سجاد
   ۲۴م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۷:۴۵ ب.ظ

   به دوستان علاقه مند به ریاضیات این وب سایت و وبلاگ را که به تازگی از نو راه اندازی شده توصیه می کنم .
   تبلیغات مستقیم ممنوع می باشد. برای تبلیغات در سایت لبخند ریاضی با مدیر این سایت به آدرس admin@riazilog.com تماس بگیرید.

   [پاسخ]

7. سیما
   ۲۷م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۳۳ ب.ظ

   آرزو جون عالیه واقعا حرف نداره من تا حالا در این مورد چیزی نشنیده بودم ولی وقتی خوندم خیلی خوشم اومد مرسی

   [پاسخ]

8. مریم
   ۲۷م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۳۹ ب.ظ

   آرزو خانم خیلی خوبه من منتظر مقاله ی بعدی شما هستم

   [پاسخ]

9. بهناز
   ۲۹م فروردین ۱۳۸۶ در ساعت ۶:۲۰ ب.ظ

   آرزو جون مطلب هات عالی بود ممنون منتظر مطلب های بعدیت هستم.

   [پاسخ]

10. فرزانه
    ۲م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۳:۱۳ ب.ظ

    آرزو جان خیلی خوب بود .موفق باشی

    [پاسخ]

11. فرزانه
    ۲م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۴:۱۱ ب.ظ

    خیلی خوب بود .موفق باشی

    [پاسخ]

12. رسول
    ۵م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۱۰:۳۵ ب.ظ

    mer30 az megalehayetoon jalebe

    [پاسخ]

13. رسول
    ۵م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۱۰:۳۸ ب.ظ

    می خواستم بیشتر درباره توابع بدونم اگه کسی میتونه توضیح بده ممنون میشم

    [پاسخ]

14. رسول
    ۵م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۱۰:۴۰ ب.ظ

    راستی آرزو خانوم موفق باشی

    [پاسخ]

15. iman
    ۱۵م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۱۲ ق.ظ

    سلام
    من دانشجوی کارشناسی ارشد مخابرات امیر کبیر هستم . و به دنبال اطلاعات فارسی از wavelet اگه زحمتی نیست و شما به این اطلاعات دسترسی دارید خوشحال میشم که برای منم بفرستید . ترجیحا یه مثال ساده هم بزنید که بیشتر این موضوع روشن بشه .
    من با کمی وقت روبرو هستم .

    [پاسخ]

16. حمید
    ۱۸م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۲:۵۷ ب.ظ

    کمی اطلاعات را افزایش دهید تا ما دانشجو ها نیز استفاده کنیم
    

    [پاسخ]

17. مرجان
    ۱۹م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۴:۱۶ ب.ظ

    salam man danshjoye karshenasi arshade reshte amare mahz hastam baraye kare projam niaz be ashnaee ba wavelet in statistic daram
    mamnon misham az rahnemaeeton

    [پاسخ]

18. خادمی
    ۲۲م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۷:۲۵ ق.ظ

    با سلام
    من هم در مورد موجک بدنبال مطلب می گشتم که فقط سایت شما رو پیدا کردم.میخواستم منو راهنمایی کنید به منابع و همچنن اگه لطف کنید و بیشتر در این زمینه بنویسید.در ضمن من ایمیل مدیر این سایت و نویسنده ی این مقاله رو هم می خواستم لطف کنید بهم بدین.
    در پناه حق
    

    [پاسخ]

19. خادمی
    ۲۲م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۷:۳۳ ق.ظ

    سلام
    من بدنبال مطالبی در این زمینه هستم.می خواستم مرا راهنمایی کنید به منابع و همچنین ایمیل مدیر سایت و نویسنده ی مقاله را می خواستم..
    در پناه حق
    

    [پاسخ]

20. علی
    ۳۱م اردیبهشت ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۰۲ ب.ظ

    من دانشجوی رشته برق هستم اگه براتون زمتی نیست اطلاعاتی در مورد درس سیگنال و سیستم راجب پردازش تصویر . تحلیل فوریه و….حداقل ۳۰ ص با تشکر

    [پاسخ]

21. آرزو خاموشی
    ۷م خرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۳:۳۵ ب.ظ

    باسلام
    به دوستانی که به دنبال مطالبی در زمینه موجک و فوریه هستند پیشنهاد می کنم مقاله های سایت را دنبال کنند، در روزهای آتی دوستان در مورد موارد ذکر شده خواهند نوشت.
    ضمن اینکه می توانید از کتاب «اولین درس در موجک ها با آنالیز فوریه» نوشته ی آلبرت باگس و فرانسیس نارکوویچ و ترجمه از آقای عطاء الله عسکری همت که توسط نشر آذرخش به تازگی ارائه شده ، کتاب Wavelet Analysis نوشته ی Ding-Xuan. Zhou ، کتاب Fourier and Wavelet Analysis نوشته یGeorge Bachmann, Lawrence. Narici, Edward Beckenstein ، کتاب Wavelet Analysis and Multiresolution Methods نوشته ی Tian-Xiao He و سایت هایی که در زیر نامشون رو می برم استفاده لازم را ببرید.
    http://www.amara.com/current/wavelet.html
    http://stommel.tamu.edu/~baum/wavelets.html
    http://ion.researchsystems.com/IONScript/wavelet/

    [پاسخ]

22. gh
    ۲۱م خرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۶:۰۱ ب.ظ

    با سلام
    متشکرم

    [پاسخ]

23. ALI
    ۲۶م تیر ۱۳۸۶ در ساعت ۱:۵۲ ب.ظ

    با سلام
    من دانشجوی کارشناسی ارشد مدیریت مالی هستم.توی پایان نامه ام از موجک استفاده می کنم.لطفا اگه مطلبی دارید که دید بیشتری در مورد موجکها بده، برام بفرستید.در ضمن باید تجزیه و تحلیل داده ها رو با نرم افزار Matlab انجام بدم.اگه بتونید راهنمایی کنید ممنون می شم.با تشکر موفق باشید.

    [پاسخ]

24. parisa
    ۴م مرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۱۲:۵۵ ب.ظ

    salam
    man daneshjooye karshenasi arshade amar hastam. mozooe payan nameye man karborde mojak dar serihaye zamani hast. man be ye seri etelaate avalie rajebe wavelet ehtiag daram. agar betonid rahnamaim konid mamnoon misham. mer30

    [پاسخ]

25. محمدرضا عرب
    ۷م مرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۰۲ ب.ظ

    آرزو جان خیلی ممنون
    سمینار منهم در مورد آنالیز سیگنالهای قلبی با تبدیل ویولت بوده والان در هم آنالیز EEG را بعنوان پروژه نهائی انتخاب کرده ام تبدیل ویولت متاسفانه یکی از سخت ترین تبدیلات ریاضی است که بهترین کاربرد را دربیوسیگنالها دارد.من علاقمندم کابردهای ویولت بصورت کتاب فارسی برای خوانندگان فراهم کنم اگر شما کمکی می توانید انجام دهید خوشحال می شویم .
    دانشجوی کارشناسی ارشد الکترونیک آزاد اراک

    [پاسخ]

    mahdee در تاريخ اسفند ۲۶م, ۱۳۸۶ ۱۲:۰۲ ب.ظ پاسخ داد:

    سلام من دانشجوی کارشناسی مخابراتم . مقاله ای جامع درباره تبدیلات ریاضی و کاربرد آنها در برق می خوام بنویسم اگه براتون مقدوره راهنماییم کنید. و منابعی رو برام معرفی کنید . تشکر

    [پاسخ]

26. احسان
    ۱۶م مرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۵:۳۴ ب.ظ

    چه خوب بود اگه از خودتون یه ادرس می ذاشتین
    در هر حال من به کمک نیاز دارم
    اگه وقت دارین بهم میل بزنین

    [پاسخ]

27. mehdi
    ۱۸م مرداد ۱۳۸۶ در ساعت ۱:۱۹ ق.ظ

    salam
    man daneshjoye arshade omranam
    va payan namam darmorede “wavelet packet” mibashad
    mikhastam farghesho ba “wavelet” mamoli beonam
    mamnon az lotfeton

    [پاسخ]

28. حمید
    ۱۳م شهریور ۱۳۸۶ در ساعت ۱۲:۲۱ ق.ظ

    با سلام
    با تشکر از خانم خاموشی
    آیا مقاله های فارسی در مورد wavelet و کاربرد های آن در آشکار سازی خطا در قطعات مکانیکی وجود دارد؟

    [پاسخ]

29. میلاد
    ۳۱م شهریور ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۱۱ ق.ظ

    اگر می شود در این زمینه هم بیشتر مطلب بگذارید. بنده مشتاق شنیدن مباحث تخصصی تر شدم.

    [پاسخ]

30. پری پناهی
    ۲۰م مهر ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۵۵ ب.ظ

    سلام عزیزانم
    از مطالب علمی تون تشکر میکنم
    به امید دیدار

    [پاسخ]

31. پری پناهی
    ۲۰م مهر ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۵۵ ب.ظ

    

    [پاسخ]

32. کریم
    ۱۳م آذر ۱۳۸۶ در ساعت ۲:۲۹ ب.ظ

    با عرض سلام خدمت همه کسانی که به نوعی با ریاضی سروکار دارند
    من دانشجوی رسته ریاضی هستم
    ومیخام یک مقاله درباره آنالیز موجک بنویسم ولی هر چی تو سایتهای فارسی گشتم چیزی جز چند صفحه که همه سایست ها اون رو تکرار کرده بودند نیافتم .
    بنابراین ممنون می شم اگه کسی اطلاعاتی رو در این زمینه به من بده.خیلی ممنون

    [پاسخ]

33. mahdee
    ۲۶م اسفند ۱۳۸۶ در ساعت ۱۱:۵۸ ق.ظ

    سلام . یه مقاله درباره تبدیلات نوین ریاضی می خوام بنویسم و البته تو مهندسی برق کاربرد داشته باشه اگه بتونید کمکم کنید خیلی ممنون می شم .

    [پاسخ]

34. زینب سیفی
    ۲۰م فروردین ۱۳۸۷ در ساعت ۳:۲۳ ب.ظ

    سلام
    از مقاله جالبتون ممنونم خواهش می کنم اگر مطالب دیگری در این زمینه دارید برای من هم بفرستید

    [پاسخ]

35. سوگل
    ۳م اردیبهشت ۱۳۸۷ در ساعت ۱:۲۲ ب.ظ

    سلام. مرسی از مطالب ارزشمندتون.میشه در مورد برنامه نویسی در مطلب و انواع wavelet توضیح بدین.
    باتشکر فراوان

    [پاسخ]

36. علی
    ۷م خرداد ۱۳۸۷ در ساعت ۵:۵۹ ب.ظ

    سلام دوست عزیز خیلی مطلبتون جالب بود
    خوشحال میشم به وبلاگ من (عشق وریاضیات) یه سر بزنی

    [پاسخ]

37. نوید
    ۲۸م خرداد ۱۳۸۷ در ساعت ۱:۲۸ ب.ظ

    سلام
    ممنونم از مقاله خوبتون ،
    جالبه نگاه میکردم به نظرات ، دیدم رفقا از رشته های آمار عمران مخابرات و …. نظر دادن ، منم دانشجوی فوق مکانیک اامیر کبیرم چه قد واقعا ریاضی فراگیر ها . منم نیاز دارم به مطالب بیشتر ، البته document هاتون نگاه کردم و لی اگه مطلب بیشتری دارید چه خوبه که معرفی کنید

    [پاسخ]

38. بابک
    ۱۰م مهر ۱۳۸۷ در ساعت ۴:۰۴ ق.ظ

    سلام
    خوبه+خوبه+خیلی خوبه
    یکی در مورد نرم افزار متلب خواسته بود توی متلب دستور fft کار رو حل کی کنه
    در ضمن من در مورد موجک نمی دونستنم
    امروز احساس می کنم من هیچی نمی دونم راه طولانی و من دیگه بریدام

    [پاسخ]

نظرات كاربران سايت